Задания и ответы олимпиады по математике для 11 класса школьного этапа Сириуса, проведённой 16 октября 2026 года. Олимпиадные задачи помогут подготовиться к следующим этапам соревнования.
Школьный этап 2026-2027 всероссийской олимпиады школьников Сириус по математике задания и ответы для 11 класса 16 октября 2026 года. Данная олимпиада проходит у школьников 3 группы регионов в 8:00 утра ответы и решение опубликованы после заданий.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2026 Сириус
№1
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 16 минут (в 12:16). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 44; 136
№1.2
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 8 минут (в 12:08). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 22; 158
№1.3
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 12 минут (в 12:12). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 33; 147
№1.4
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 4 минуты (в 12:04). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 11; 169
№2
Пусть (a₁, a₂, …, a₃₀) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 32: (3, 4, 5, …, 32). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₃₁(a₃₀)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5
№2.2
Пусть (a₁, a₂, …, a₆₂) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 64: (3, 4, 5, …, 64). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₆₃(a₆₂)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 6
№2.3
Пусть (a₁, a₂, …, a₂₄) — некоторая перестановка целых чисел от 4 до 27: (4, 5, …, 27). Какие значения может принимать выражение log₃(a₁) · log₄(a₂) · … · log₂₆(a₂₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3
№2.4
Пусть (a₁, a₂, …, a₁₄) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 16: (3, 4, 5, …, 16). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₁₅(a₁₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4
№3
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 13^(y²)
Ответ: 338
№3.2
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 19^(y²)
Ответ: 722
№3.3
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 11^(y²)
Ответ: 242
№3.4
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 17^(y²)
Ответ: 578
№4
В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Ответ: 18432
№4.2
В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Ответ: 648
№4.3
В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять рядом с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Ответ: 23040
№4.4
В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Ответ: 864
№5
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 76°? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 83
№5.2
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 62°? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 76
№5.3
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 74°? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 82
№5.4
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 66°? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 78
№6
По кругу стоят 22 дерева. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 21 дерево по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Посмотреть ответ
№6.2
По кругу стоят 26 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 25 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Посмотреть ответ
№6.3
По кругу стоят 14 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 13 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Посмотреть ответ
№6.4
По кругу стоят 18 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 17 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Посмотреть ответ
№7
Вначале у Вани и Ани было по числу 35 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 36 (Аня) и 70 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
№7.2
Вначале у Вани и Ани было по числу 25 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 26 (Аня) и 50 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
№7.3
Вначале у Вани и Ани было по числу 28 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 29 (Аня) и 56 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
№7.4
Вначале у Вани и Ани было по числу 32 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 33 (Аня) и 64 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
→ Посмотреть ответ
№8
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,1. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
№8.2
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,4. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
№8.3
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,2. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
№8.4
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,3. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Посмотреть все ответы и задания
Смотрите для 11 класса олимпиаду по математике
• Олимпиада по математике 11 класс 26-28 сентября 2026
#ВсОШ2026 #ОтветыВсОШ #ВсОШМатематика #Математика #Математика11класс #ВсОШ #Олимпиада2026 #ЗаданияИОтветы #Ответы2026 #Олимпиадаматематика11класс #Заданияматематика2026 #ШкольныйэтапСириус #Математическиеолимпиады #ОТВЕТЫматематика16октября