Задания и решения Олимпиады Сириус по математике для 11 класса группы 3 школьного этапа ВсОШ, прошедшего 16 октября 2026 года.
Реальные задания и ответы школьного этапа Сириус ВсОШ по предмету Математика. Регион: Группа 3. Олимпиада проходит для учеников 11 класса. Мы собрали для Вас каждое задание в одном месте и разобрали его, чтобы Вам не приходилось искать где-то ещё! Представленные материалы предназначены для проверки знаний, разбора ошибок и подготовки к следующим этапам олимпиады 2026-2027 учебного года.
К группе 3 относятся регионы: Астраханская область, Курганская область, Омская область, Оренбургская область, Пермский край, Республика Башкортостан, Самарская область, Саратовская область, Свердловская область, Тюменская область, Удмуртская Республика, Ульяновская область, Ханты-Мансийский автономный округ — Югра, Челябинская область, Ямало-Ненецкий автономный округ.
Задание 1
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 16 минут (в 12:16).
Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 2
Пусть (a₁, a₂, …, a₃₀) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 32: (3, 4, 5, …, 32).
Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₃₁(a₃₀)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 3
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
xˣ = 13y²
→ Узнать правильный ответ
Задание 4
В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей?
Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
→ Узнать правильный ответ
Задание 5
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP.
Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 76°? Ответ выразите в градусах.
→ Узнать правильный ответ
Задание 6
По кругу стоят 22 дерева. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 21 дерево по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Узнать правильный ответ
Задание 7
Вначале у Вани и Ани было по числу 35 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 36 (Аня) и 70 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
→ Узнать правильный ответ
Задание 8
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.1. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C.
Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Узнать правильный ответ
Задание 9
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 8 минут (в 12:08).
Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 10
Пусть (a₁, a₂, …, a₆₂) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 64: (3, 4, 5, …, 64).
Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₆₃(a₆₂)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 11
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
xˣ = 19y²
→ Узнать правильный ответ
Задание 12
В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей?
Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
→ Узнать правильный ответ
Задание 13
По кругу стоят 26 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 25 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Узнать правильный ответ
Задание 14
Вначале у Вани и Ани было по числу 25 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 26 (Аня) и 50 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
→ Узнать правильный ответ
Задание 15
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.4. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C.
Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Узнать правильный ответ
Задание 16
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 12 минут (в 12:12).
Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 17
Пусть (a₁, a₂, …, a₂₄) — некоторая перестановка целых чисел от 4 до 27: (4, 5, …, 27).
Какие значения может принимать выражение log₃(a₁) · log₄(a₂) · … · log₂₆(a₂₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 18
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
xˣ = 11y²
→ Узнать правильный ответ
Задание 19
Вначале у Вани и Ани было по числу 28 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 29 (Аня) и 56 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
→ Узнать правильный ответ
Задание 20
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.2. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C.
Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Узнать правильный ответ
Задание 21
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP.
Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 62°? Ответ выразите в градусах.
→ Узнать правильный ответ
Задание 22
По кругу стоят 14 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 13 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Узнать правильный ответ
Задание 23
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 4 минуты (в 12:04).
Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 24
В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять рядом с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей?
Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
→ Узнать правильный ответ
Задание 25
В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.3. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C.
Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Узнать правильный ответ
Задание 26
Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
xˣ = 17y²
→ Узнать правильный ответ
Задание 27
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP.
Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 74°? Ответ выразите в градусах.
→ Узнать правильный ответ
Задание 28
В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей?
Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
→ Узнать правильный ответ
Задание 29
По кругу стоят 14 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 13 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
→ Узнать правильный ответ
Задание 30
Пусть (a₁, a₂, …, a₁₄) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 16: (3, 4, 5, …, 16).
Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₁₅(a₁₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
Задание 31
Вначале у Вани и Ани было по числу 32 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 33 (Аня) и 64 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
→ Узнать правильный ответ
Задание 32
В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP.
Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 66°? Ответ выразите в градусах.
→ Узнать правильный ответ
Задание 33
На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 4 минуты (в 12:04).
Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Узнать правильный ответ
#ВсОШ2026 #ОтветыВсОШ #ВсОШМатематика #Математика #Математика11класс #ВсОШ #Олимпиада2026 #ЗаданияИОтветы #Ответы2026 #ОлимпиадаСириус #ЗаданияСириус #РешенияВсОШ #Группа3Сириус #ШкольныйЭтап